A bijection between (bounded) dominant Shi regions and core partitions

It is well-known that Catalan numbers Cn = 1 n+1 ( 2n n ) count the number of dominant regions in the Shi arrangement of type A, and that they also count partitions which are both n-cores as well as (n + 1)-cores. These concepts have natural extensions, which we call here the m-Catalan numbers and m-Shi arrangement. In this paper, we construct a bijection between dominant regions of the m-Shi arrangement and partitions which are both n-cores as well as (mn+ 1)-cores. We also modify our construction to produce a bijection between bounded dominant regions of them-Shi arrangement and partitions which are both n-cores as well as (mn − 1)-cores. The bijections are natural in the sense that they commute with the action of the affine symmetric group. Résumé. Il est bien connu que les nombres de Catalan Cn = 1 n+1 ( 2n n ) comptent non seulement le nombre de régions dominantes dans le Shi arrangement de type A mais aussi les partitions qui sont à la fois n-coeur et (n + 1)-coeur. Ces concepts ont des extensions naturelles, que nous appelons ici les nombres m-Catalan et le m-Shi arrangement. Dans cet article, nous construisons une bijection entre régions dominantes du m-Shi arrangement et les partitions qui sont à la fois n-coeur et (nm+ 1)-coeur. Nous modifions également notre construction pour produire une bijection entre régions dominantes bornées dum-Shi arrangement et les partitions qui sont à la fois n-coeur et (mn− 1)-coeur. Ces bijections sont naturelles dans le sens où elles commutent avec l’action du groupe affine symétrique.